География - лучший географический портал. Сайты, учебные материалы по географии.

Математическая модель

Страница 2

Для анализа результатов из всех характеристик системы были выбраны три так называемых основных управляющих параметра: 1 - глубина очага (длина канала) - Н0; 2 - параметр проводимости канала sigma.gif (58 bytes)=b2/nu.gif (132 bytes), где b - характерный поперечный размер канала; 3 - давление в очаге рo, вместо которого обычно для удобства использовалось избыточное давление: pex=po-ro.gif (64 bytes)lgH0. Выбор основных управляющих параметров до некоторой степени произволен, но от того, насколько он удачен, зависит возможность быстро нащупать главные закономерности.

ris2sm.gif (5205 bytes)

Рис. 2

Некоторые результаты расчетов показаны на рис.1. На всех графиках ордината - скорость подъема магмы без пузырьков - величина, пропорциональная расходу; абсцисса - один из управляющих параметров, другой показан числом у каждой кривой, а третий зафиксирован. Обращает на себя внимание одинаковая форма всех графиков: в определенной области часть кривых имеет зигзагообразную форму - одному значению управляющего параметра соответствуют три значения расхода. Причем, границы области неоднозначности расхода определяются также значением одного из управляющих параметров.

Верхняя и нижняя ветви каждой такой кривой отвечают устойчивым состояниям системы, средняя - неустойчивому. Изменение состояния системы при изменении параметра, отложенного по абсциссе, описывается движением точки вдоль устойчивой ветви соответствующей кривой. Если точка подойдет к повороту кривой на неустойчивую ветвь, дальнейшее изменение параметра в том же направлении заставит точку перескочить на другую устойчивую ветвь - система скачком перейдет в другое устойчивое состояние, очень сильно отличающееся от первого. Такой скачок называют <катастрофой", и такого рода семейства кривых возникают при математическом моделировании очень большого числа природных процессов и изучаются в так называемой теории катастроф [7] (рис.1).

Каждое семейство кривых представляет собой набор сечений некоторой поверхности, называемой многообразием катастрофы с особенностью типа <сборка". Такая поверхность показана на рис.2.

Сборка является типичной стандартной катастрофой двупараметрических семейств функций [7], обладающей структурной устойчивостью, то есть сохраняющаяся при не очень значительных изменениях всех параметров. Эта устойчивость отвечает устойчивости режимов извержения.

Проекция сборки на плоскость управляющих параметров имеет вид угла с острием, внутри которого каждой точке плоскости отвечают три образа на поверхности многообразия катастрофы (три значения расхода), соответствующие трем листам изогнутой поверхности (рис.2). Верхний и нижний лист соответствуют устойчивым состояниям системы, средний - неустойчивым. Острие угла называется точкой сборки. Значения параметров, соответствующие координатам точки сборки, будем называть критическими - Hкр и sкр.

Изменение значений управляющих параметров описывается движением точки по плоскости. Параметр, изменение которого проводит изображающую точку на плоскости через острие угла параллельно оси сборки, называется "расщепляющим" и определяет саму возможность неоднозначности решений. При этом движение образа точки на многообразии катастрофы, описывающее изменение расхода, возможно как по нижнему, так и по верхнему листу поверхности - точка сборки является точкой бифуркации. Параметр, проводящий изображающую точку перпендикулярно оси сборки, называется "нормальным", при его изменении пересечение границы сборки - сепаратрисы катастрофы - приводит к скачку системы из одного устойчивого состояния в другое.

Управляющих параметров нами выделено три, и сборка качественно описывает поведение системы при изменении каждой пары из них. В реальности могут изменяться все три параметра одновременно и картина будет несколько сложнее, но, в любом случае наличие сборок предопределяет скачки. Практически в процессе естественной эволюции извержения на каждом ее этапе преобладает изменение лишь одного или двух параметров, и поведение системы может быть описано простой сборкой.

Физический механизм катастрофического скачка заключается в следующем. Рост расхода приводит к росту скорости потока на всем протяжении канала во всех зонах с разной структурой потока и, как следствие, к увеличению сопротивления, ограничивающего этот рост. Одновременно рост расхода приводит к росту протяженности зоны газовзвеси по отношению к зонам с жидкостным течением. В канале вулкана из-за высокой вязкости магмы и относительно небольшого содержания летучих отнесенное к единице длины сопротивление на участке жидкостного течения на несколько порядков превосходит соответствующее сопротивление на участке газовзвеси. Таким образом, изменение соотношения протяженностей в пользу газовзвеси уменьшает полное сопротивление канала и способствует дальнейшему увеличению расхода. В этом же направлении работает и уменьшение средней плотности вещества в канале. Если эффект увеличения расхода, вызванный увеличением зоны газовзвеси, начинает преобладать над эффектом уменьшения, вызванным ростом скорости, возникает положительная обратная связь и начинается его катастрофический рост. Этот рост может быть остановлен лишь когда жидкостная зона уменьшится настолько, что ее полное сопротивление станет близким к сопротивлению зоны газовзвеси, или на выходе канала будет достигнута критическая скорость потока (местная скорость звука). В последнем случае разработка за счет эрозии расширяющегося сопла может привести и к сверхзвуковому истечению.

Страницы: 1 2 3

Другие публикации

Нидерландские Антильские Острова
Территория: Две группы островов в Карибском бассейне — у побережья Венесуэлы (острова Кюрасао и Бонайре) и к востоку от Виргинских островов (острова Саба, Синт-Эстатиус и южная часть острова Сен-Мартен) общей площадью 960 кв. км, автономный штат Нидерландов. Населени ...

Бахрейн
Территория: архипелаг в Персидском заливе вблизи побережья Саудовской Аравии общей площадью 665 кв. км, состоит из 35 островов, частично искусственного происхождения. Население — 688,3 тыс. чел. (2005 г.), в том числе 430 тыс. — бах-рейнцы. Темпы роста — 2,6%. Все ве ...

Разделы

Поиск