География - лучший географический портал. Сайты, учебные материалы по географии.

О теоретических положениях динамики и устойчивости бурильной колонны и способах их реализации на практике

Страница 2

Для иллюстрации основных теоретических положений, используемых для технологических предложений по обеспечению устойчивости бурильной колонны, необходимо привести и проанализировать нижеследующие дифференциальные и трансцендентные уравнения.

Первоначально необходимо проверить на самосопряженность как дифференциальное выражение, образующее уравнение, так и граничные условия [8].

Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс потери статической устойчивости скручиваемой одноступенчатой колонны, имеет вид:

EJv(4) + Mw(3) + [(F — qx)v(1)](1) = 0;

EJw(4) — Mv(3) + [(F — qx)w(1)](1) = 0 (1)

и оказывается формально самосопряженной [8].

Граничные условия типа заделки:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(1) (0) = w(1) (0) = v(1) (L) = w(1) (L) = 0 (2)

и граничные условия полукасания (естественные вариационные) [7]:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0;

EJv(2) (0) — M/2∙w(1) (0) = EJw(2) (0) + M/2∙v(1) (0) = 0;

EJv(2) (L) — M/2∙w(1) (L) = EJw(2) (L) + M/2∙v(1) (L) = 0 (3)

также оказываются самосопряженными.

Однако наиболее распространенные граничные условия типа шарового шарнира:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(2) (0) = w(2) (0) = v(2) (L) = w(2) (L) = 0 (4)

оказываются несамосопряженными. Заметим, что несамосопряженными условия (4) остаются вне зависимости от наличия распределенной или сосредоточенной нагрузки, но в случае колонны, нагружаемой собственным весом, факт отсутствия действительных критических нагрузок можно установить аналитически.

Введем характерную единицу длины m3 = EJ/q, где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения, q — погонный вес труб. Примем обозначения l = Fm2/EJ, µ = 1/2(M/EJ)m и выполним стандартную комплексификацию системы дифференциальных уравнений (1). Сдвинем на l независимую переменную, обозначая ее z, а для безразмерной измеренной глубины L оставим прежние обозначения. Граничные условия переносятся, соответственно, в точки (-l) и (L-l), а основное комплексное уравнение принимает вид:

. (5)

Элементарными выкладками устанавливается явный вид общего решения уравнения (5), в котором граничное условие u(-l) = 0 выполняется тождественно:

(6)

Для дальнейших вычислений нам понадобятся выражения элемента a13 специального определителя, возникающего в результате подстановки (6) в граничные условия:

Здесь ai(.) и bi(.)— стандартные специальные функции Эйри [9].

Раскрывая cos[µ(y-x)] по формуле сложения аргументов, пользуясь известной асимптотикой для ai(x) и bi(x) при больших значениях аргумента, нетрудно установить, что a13 ≈ lnL/ при L>>1.

В случае условий шарового шарнира равенство нулю спектрального определителя упрощается к виду:

(7)

Поскольку ai(x) и ее производная не обращаются в ноль одновременно в одной и той же точке [9], первое слагаемое (7) не обращается в ноль ни при каких l и µ.

Страницы: 1 2 3 4 5 6

Другие публикации

Пенза
Город Пенза является административным, промышленным и культурным центром Пензенской области, которая расположена на Восточно-Европейской равнине, занимает среднюю и западную часть Приволжской возвышенности и граничит с Мордовской республикой, Ульяновской, Саратовской, ...

Влияние горных выработок на растительный и животный мир.
Живя в постоянном окружении прекрасного мира растений, мы редко задумываемся над тем, все ли делаем для того, чтобы сохранить красоту наших лесов, сберечь в городах и рабочих поселках зеленый наряд. А между тем, среди многообразных живых организмов на Земле наши зелен ...

Разделы

Поиск